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!set gl_author=Euler, Acadmie de Versailles
!set gl_keywords=combinatories
!set gl_title=Coefficient binomial
!set gl_level=H5 L ES S
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<div class="wims_defn">
  <h4>Dfinition</h4>
  Soit \(n\) un entier naturel et \(k\) un entier naturel compris entre 0 et \(n\).
  <br/>
  On considre une exprience alatoire constitue de la rptition de \(n\) preuves
  de Bernoulli identiques et indpendantes, reprsente par un arbre.<br/>

  Le <strong>coefficient binomial</strong> not \(\binom{n}{k}\)
  (lire &#171; \(k\) parmi \(n\) &#187; ) est le nombre de chemins de l'arbre
  ralisant \(k\) succs pour les \(n\) rptitions de l'preuve.
</div>

<div class="wims_rem">
  <h4>Remarque</h4>
  L'entier  \(\binom{n}{k}\) est le nombre de combinaisons de \(k\) lments
  d'un ensemble  \(n\) lments.
</div>

<div class="wims_thm">
  <h4>Thorme</h4>
  <ul>
      <li>
 Pour tout \(n \in \NN\) et pour tout \(k \in \NN\) tel que \(0\leqslant k \leqslant n\),
        \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\)
      </li><li>
 Pour tout \(n \in \NN\) et pour tout \(k \in \NN\) tel que \(0 \leqslant k < n\),
        \(\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}\).
      </li>
  </ul>
</div>

<div class="wims_rem">
  <h4>Cas particuliers</h4>
  <ul>
    <li>
    Pour tout entier naturel \(n\), \(\binom{n}{0}=1\) et \(\binom{n}{n}=1\),
    </li><li>
    Pour tout entier naturel non nul \(n\), \(\binom{n}{1}=n\) et \(\binom{n}{n-1}=n\),
    </li>
  </ul>
</div>
