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!set gl_author=Euler, Acadmie de Versailles
!set gl_keywords=graph
!set gl_title=Graphe probabiliste
!set gl_level=H6 ES
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<div class="wims_defn">
    <h4>Dfinitions</h4>
  <ul>
    <li>
      Un <strong>graphe probabiliste</strong> est un graphe orient pondr dans lequel
      la somme des poids des artes issues de chaque sommet est gale  1.
    </li><li>
      La <strong>matrice de transition</strong> associe  un graphe probabiliste d'ordre
      \(n\) est la matrice carre \(M =(a_{i,j})\)
      d'ordre \(n\) telle que, pour tous entiers \(i\) et \(j\) vrifiant
      \(1\leqslant i\leqslant n\) et \(1\leqslant j\leqslant n\), \(a_{i,j}\)
      est gal au poids de l'arte oriente d'origine le sommet \(i\) et d'extrmit
      le sommet \(j\) si cette arte existe, et est gal  0 sinon.
      <br/>
      Cette matrice dcrit le passage d'un tat au suivant.
    </li><li>
      Un <strong>tat probabiliste</strong> est une loi de probabilit sur
      l'ensemble des tats possibles.
      <br/>
      Cette loi est reprsente par une matrice ligne.
    </li>
  </ul>
</div>

<div class="wims_thm">
    <h4>Thorme 1</h4>
  Soit \(M\) la matrice de transition d'un graphe probabiliste,
  \(P_0\) la matrice ligne dcrivant l'tat initial et
  \(P_n\) l'tat probabiliste  l'tape \(n\), o \(\n \in \NN\).
  <br/>
  Pour tout \(n\in \NN\), \(P_n=P_0 . M^n \).
</div>
<div class="wims_thm">
  <h4>Thorme 2</h4>
  Pour tout graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition \(M\)
  ne comporte pas de 0, l'tat \(P_n\) converge vers un tat \(P\) indpendant de l'tat initial
  \(P_0\) et \(P\) est l'unique solution de l'quation \(X=X . M\)
  o \(X=[x,y]\),
  \(x\in [ 0;1]\), \(y\in [ 0;1]\),
  et \(x + y = 1\).
</div>
